حل المعادلة التربيعية باكمال المربع

حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع


الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر

خطوات الحل

أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر


ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه


ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين


رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2


خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .


سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين


مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 + 4س – 16 = صفر


بإضافة + 16 للطرفين2س^2 + 4س = 16


بالقسمة على معامل س^2 وهو 2 س^2 + 2س = 8


معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1

بإضافة 1 للطرفين س^2 + 2س + 1= 8 + 1

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 1 )^2 = 9


بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان


هما ( س + 1 )^2 = 9 س + 1 = 3


بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3


بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}


مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 8س + 15 = صفر


بإضافة -15 للطرفينس^2 - 8س = -15


معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س^2 - 8س + 16 = -15 + 16

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 4 )^2 = -15 + 16 ( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما


س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1


بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }



مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 4س = 12

معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4

س^2 - 4س + 4 = 12 + 4

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 12 + 4( س - 2 )^2 = 16

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6

أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2

مجموعة الحل = { 6 ، -2 }

تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4س^2 - 16س + 12 = صفر

بإضافة - 12 للطرفين4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4 س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4

س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 1

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3
أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1

مجموعة الحل = { 3 ، 1 }


تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3 س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 2 )^2 = صفر

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2

مجموعة الحل = { -2 }

ملاحظة :
المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )

تطبيق :
جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 - 12س + 20 = صفر

بإضافة - 20 للطرفين2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2 س^2 - 6س = -10

معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9

س^2 - 6س + 9 = -10 + 9

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 3 )^2 = -1


بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل[b][i]